Евклидова геометрия

Рассматривается современная геометрия и ее связь с динамикой, новейшие модели эволюции Метагалактики, обсуждается проблема структуры физического пространства и его размерность. Тема этой книги - новые представления о структуре физического пространства и происхождении Метагалактики, пересмотр старых. Необходимость же подобного пересмотра в отличие от специальной или общей теории относительности, базирующихся на небольшом количестве бесспорно установленных фактов (опыт Майкельсона, отклонение света в гравитационном поле Солнца и смещение перигелия Меркурия), основывается на многих относящихся к различным областям физики экспериментальных фактах. Трактовать современные представления о пространстве, не упоминая классические их образы - пространства Минковского и Неизменность их формы при перемещениях оптимально описывается в рамках евклидовой геометрии. Поэтому утверждение: световой луч прочерчивает прямую эквивалентно тезису: наше пространство плоское, евклидово. До конца 20-х годов прошлого столетия евклидова геометрия казалась незыблемой и единственной теорией пространства. В этой статье, так же как и в письмо молодого венгерского математика Я.Больяи, переданном К.Гауссу, утверждалось, что возможно построение непротиворечивой геометрии, не содержащей известный пятый постулат евклидовой геометрии. Этот постулат, гласящий, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной, казался наиболее уязвимым (или наименее очевидным) априорным требованием евклидовой геометрии. Поэтому был выбран другой путь - построение геометрии, основанной на всех аксиомах и постулатах Евклида, но в которой был заменен пятый постулат о параллельных: через одну точку можно провести либо бесконечное множество прямых, параллельных данной, либо ни одной. Однако пятый постулат о параллельных эквивалентен (в сочетании с другими аксиомами евклидовой геометрии) утверждению, которое в принципе подвергается непосредственной проверке. согласно этому утверждению сумма углов треугольника равна PI. Уже в первых работах по неевклидовой геометрии было продемонстрировано, что отклонение суммы углов треугольника от PI (при отрицании постулата о параллельных) пропорционально площади треугольника. В результате измерений оказалось, что в пределах экспериментальных ошибок сумма углов треугольника равна PI. Метод, основанный на измерении суммы углов треугольника, может продемонстрировать отклонение от евклидовой геометрии, но не может доказать ее абсолютную справедливость. какой бы треугольник в пределах наблюдаемой части Вселенной мы ни использовали в качестве образца, всегда можно утверждать, что его площадь мала, а точность наших приборов недостаточна для обнаружения отклонений от евклидовой геометрии. Все же известная польза от опытов Гаусса - Лобачевского (или аналогичных экспериментов) существует: если и есть отклонения от евклидовой геометрии, то они малы. В другом аспекте - евклидова геометрия как логическая система аксиом и теорем является лишь одной из возможностей. Тем не менее геометрия нашего пространства евклидова или почти евклидова. Положим, что бесконечным прямым в евклидовом пространстве соответствуют окружности на сфере. Полезно привести пример экспериментального выбора между двумя одинаково красивыми и логически безупречными теориями, объединяющими электромагнитное и слабое взаимодействия. В ее рамках геометрические методы используются для устранения незамкнутости, непоследовательности уравнений, описывающих квантовую теорию поля. Может быть, фотоны движутся по кривой, а само пространство также кривое и обе кривизны взаимно компенсируют друг друга, так что в результате получается мнимое доказательство торжества евклидовой геометрии? Когда здесь упоминались законы взаимодействий, то они, разумеется, понимались как совокупность динамических уравнений и геометрии пространства, в котором существуют материальные точки. Вероятно, можно для интерпретации отдельных опытов придумать объяснение на основе геометрий, отличных от евклидовой, но допущение, что вся огромная совокупность экспериментов объясняется на базе неевклидовой геометрии, представляется невероятной. В заключение отметим, что современные представления о структуре Метагалактики (Вселенной) также свидетельствуют, что в ее пределах (размер ~10**28 см) пространство евклидово или близко к нему (см. разд. Таким образом, весь исключительно богатый набор экспериментальных фактов согласуется с допущением: в интервале расстояний 10**-16 - 10**28 см физическая геометрия близка или тождественна евклидовой геометрии трехмерного пространства. Однако пока не сделаны хотя бы попытки построить физики в существенно измененном пространстве, все утверждения о произволе геометрии имеют абстрактный, а не физический характер. Преимущества аналитических методов при отображении многомерных пространств проявляются в отсутствии необходимости наглядно себе их представлять или моделировать реально в нашем пространстве - особенностях, обусловленных в первую очередь нашей психологической ограниченностью. уравнение окружности: (x-a)**2+(y-b)**2=c**2 и т.д. Нетрудно описать, реализовать евклидово пространство в рамках аналитической геометрии. Евклидово пространство можно определить как бесконечное, изотропное и однородное пространство. Неизменность свойств пространства при перемещениях и вращении отражает основные свойства евклидова пространства - однородность и изотропию. Наши привычные представления о геометрических фигурах основаны на образе, вписанном, вложенном в евклидово пространство. Да и сама евклидова геометрия широко использует образы объемов или поверхностей, вложенных в евклидово пространство. Однако такие образные представления являются в некотором смысле атавизмом, оставшимся в наследие от убеждения в единственности евклидовой геометрии, понимаемой как ветвь математики. Как только сформировались идеи неевклидовой геометрии, возникла необходимость описания поверхностей-пространств любой размерности независимо от фона - пространства, куда вкладываются эти поверхности-пространства. Последние в такой постановке задачи выступают, как носители самостоятельной автономной геометрии, не связанные с осями координат, вписанными в глобальное евклидово пространство-фон. Чтобы понять основные идеи геометрии поверхностей, обратимся вначале к привычным образам евклидовой плоскости - двумерного пространства и двумерной сферы, рассматриваемой как автономное пространство. Известно, что основным свойством евклидова пространства является изотропия и однородность - полная эквивалентность его точек. Евклида, не точно, поскольку этому свойству однородности и изотропии удовлетворяет также и сфера: все ее точки также эквивалентны относительно поворотов осей координат и их трансляции. Иначе говоря, нужно определить величину, характеризующую кривизну сферической поверхности сравнительно с евклидовым пространством. В рамках глобальной неевклидовой геометрии (как мы отмечали ранее) отличие геометрии от евклидовой характеризуется отклонением суммы углов треугольника от PI или (что то же самое) отклонением от теоремы Пифагора. Любую малую окрестность достаточно гладкой поверхности можно в первом приближении аппроксимировать плоскостью по аналогии с тем, что отрезок ds непрерывной кривой, описываемой дифференцируемой функцией f(x), представляется в окрестности точки x отрезком прямой длины Инвариантность скалярного произведения относительно вращений и трансляций определяет евклидово пространство, что и отражено в аналоге равенства Для пространства Евклида все компоненты метрического тензора можно привести к простейшему виду во всех точках пространства: g||=0, если i\=k; Гауссом, о том, что в малом отклонение геометрии от евклидовой пропорционально некой величине, называемой кривизной. Несколько огрубленно можно сказать, что кривизна (количественная мера отклонения поверхности от евклидовой) - оптимальная аппроксимация малого участка поверхности набором окружностей разных радиусов. Однако существуют симметричные поверхности - пространства, для которых кривизна характеризуется меньшим числом компонент. На примере сферы становится ясным, что с уменьшением кривизны или увеличением размеров поверхность локально приближается к евклидову пространству. Пространство Евклида - единственное, характеризуемое постоянной, но нулевой кривизной. Ранее отмечалось, что характеристика неевклидовости двумерных плоскостей - отклонение суммы углов треугольника от PI. Гладкую поверхность можно аппроксимировать бесконечным набором примыкающих малых плоскостей, расположенных друг относительно друга под определенными углами. Однако в рамках аналитической или дифференциальной геометрии, когда свойства пространств определяются числами (координатами или величинами компонент метрического тензора или кривизны), можно с равным успехом проводить анализ поверхностей любой целочисленной размерности. Возможность оперировать с поверхностями (пространствами) произвольной размерности исключительно важна для понимания свойств и характеристик физического пространства (об этом речь пойдет в следующих главах). Утверждение, что локально поверхность эквивалентна евклидову пространству, означает, что в любой точке интервал можно привести к виду Эта теория выдвинула идею нового типа пространств - пространств Минковского когда интервал ds**2 может иметь оба знака (ds**2 >= 0 или ds**2 =< 0), метрика таких пространств называется индефинитной, а сами пространства псевдоевклидовыми. Однако критический анализ основных понятий геометрии, а также внутренние, имманентные законы развития дифференциальной геометрии стимулировали создание и развитие нового математического образа - расслоенного пространства. Первые работы, в которых формировались основные понятия расслоенных пространств и их связи с другими разделами математики, относятся к 30 - 50-м годам и принадлежат выдающимся математикам: Э.Картану, Х.Уитни, Ш.Эресману, Фундаментальное понятие точки у расслоенных пространств отличалось от интуитивного образа бесструктурной точки. Однако эволюция физики, и в первую очередь квантовой теории поля, физики элементарных частиц и космологии, привела к сближению представлений о точках в физике и расслоенных пространствах. Постепенно начал вырисовываться абрис синтеза фундаментальной физики и геометрии на базе расслоенных пространств. По нашему мнению, можно высказать и более сильное утверждение: существует "истинное" физическое пространство, которое реализуется в терминах расслоенных пространств. Если такая несколько претенциозная формулировка выглядит экстремистской, то более ограниченное утверждение: объединенная теория взаимодействий допускает геометрическую интерпретацию на базы расслоенных пространств - кажется бесспорным. Даже творцы теории элементарных частиц оказались неподготовленными к вторжению математики расслоенных пространств в физику. В этом аспекте характерен диалог физика Ч.Янга с одним из основоположников геометрии расслоенных пространств Ш.Черном. После этих предварительных замечаний целесообразно перейти к изложению основных идей геометрии расслоенных пространств. Начнем с представления основных образов (картин) расслоенных пространств. Точка в расслоенном пространстве эквивалентна автономному пространству. Иначе говоря, можно наглядно представить, что точка в расслоенном пространстве эквивалентна точке в смысле окружность S|, расположенная в плоскости, перпендикулярной базе, центром которой является данная точка базы. Полное расслоение пространства представляет цилиндр и его ось. ' Символом R часто обозначают риманово пространство, частным случаем которого является пространство Евклида. Можно привести пример расслоенного пространства, в котором размерности базы и слоев различны. трехмерное евклидово пространство R|, а слои - двумерные 2 Полное расслоенное пространство - фигура трехмерная (цилиндр+прямая), и ее нетрудно вообразить воочию. Второй пример расслоенного пространства не поддается такой наглядной интерпретации. От замены одного слоя на другой геометрия расслоенного пространства не изменится. Как уже упоминалось, наглядно можно представить лишь расслоенные пространства малой размерности (полная размерность N=<3). евклидова пространства со слоем S| (R| x S|) метрику можно 1 Идея определения этого отношения заимствована из дифференциальной геометрии, где эта идея - лишь одна из возможностей измерения отклонения пространства от евклидова. Ранее мы упоминали, что искривленное пространство характеризуется различными величинами: отклонением суммы углов треугольника от PI (неевклидовость), отличием метрики пространства от евклидовой метрики и, наконец, кривизной пространства. Чтобы понять дальнейшие рассуждения, следует сделать некоторое усилие и отрешиться от привычных и наглядных представлений о параллельных в евклидовом пространстве. Оно оказывается достаточным, если обе точки расположены близко друг к другу. бесконечно-близкие точки M и M| и рассмотрим в точке M вектор поверхности a (лежащий в касательной плоскости к поверхности). в касательной плоскости в точке M| поверхности и не будет вектором поверхности. плоскость к поверхности в точке M|, тогда получим вектор a|, 1 Поэтому связность - одна из нескольких характеристик искривления (отклонения от евклидовости) геометрической фигуры. Хотя простейшие расслоенные пространства также можно мысленно представить в виде геометрических фигур, но всегда, когда оперируют с расслоенными пространствами, следует помнить, что они - множество пространств, находящихся в неравноправном положении. Если среди характеристик простых пространств связность занимает рядовое место ( одна из нескольких характеристик), то в теории расслоенных пространств обобщенное понятие связности, пожалуй, основная характеристика. Связность в расслоенных пространствах играет ключевую роль: она характеризует отношения между базой и слоями и между соседними слоями. Разумеется (поскольку сфера - неевклидова поверхность), сумма углов треугольника не равна PI. Поскольку полусфера - неевклидова поверхность, то при полном обходе треугольника (возвращение вектора в точку, совпадающую с началом вектора a) между направлениями первичного и конечного векторов (стрелки на рисунке) образуется некоторый угол - связность. Обобщим это понятие на расслоенное пространство. Расслоение полусферы на круг и линейное пространство - одно из простейших расслоений, позволяющих дать наглядную интерпретацию связности расслоенного пространства. Идея введения общего определения связности близка к основной идее дифференциальной геометрии: в малом объеме метрика пространства евклидова или псевдоевклидова. Полагается, что в малом расслоенное пространство можно представить простым произведением, частным случае которого и было расслоение полусферы. Идея единства пространства-времени была сформулирована Г.Минковским в 1907 г. После создания теории относительности статус времени существенно изменился: оно стало равноправным партнером пространства. Возникла новая геометрия - геометрия пространства-времени. Если v/c ~ 1, то в соответствии с теорией относительности каждая часть тела обладает своим собственным временем. В этом отражается его исключительно важное свойство - трансляционная инвариантность: независимость физических законов от точки отсчета. Решение основной проблемы классической механики предполагает априорное определение физического пространства, в котором движутся материальные точки. В рамках ньютоновской физики оно отождествляется с пространством Евклида. Одна из задач механики - вычисление траектории тела (материальной точки) в этом пространстве. Это понятие имеет лишь относительный смысл: траектория материальной точки определяется относительно другого тела, обычно называемого телом отсчета. По этой причине физики предпочитают говорить не о системе координат, а о системе отсчета, подразумевая, что это понятие включает также и тело отсчета. В отличие от начала координат тело отсчета, как правило, влияет, а иногда и определяет состояния исследуемого тела (материальной точки). Несколько перефразируя определение времени, данное в предыдущем разделе, можно сказать, что пространство есть мера неупорядоченной эволюции относительно состояния тела. Пространственные соотношения характеризуют относительное положение материальных тел, включая и тело отсчета. Временные же соотношения также включают точку отсчета, но эта точка относится к тому же самому телу, время эволюции которого определяется. В основе ньютоновской механики находится понятие инерциальных систем отсчета, играющее особую роль, поскольку, строго говоря, законы Ньютона относятся именно к этому классу систем отсчета. К сожалению, как это часто бывает с основополагающими понятиями, определения инерциальной системы многообразны и не полностью отражают ее свойства, что может привести, а иногда и приводит к недоразумениям. Однако полный анализ понятия инерциальной системы отсчета выходит за рамки основной темы, и далее мы ограничимся лишь кратким его рассмотрением. Пока же примем наиболее популярное определение инерциальной системы отсчета, представленное в классическом курсе теоретической физики Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица: ". можно найти такую система отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время однородным. Из этого определения следует ограниченность понятия инерциальной система отсчета. Макроскопическое тело, состоящее, по определению, из многих точечных тел, само выделяет из первичного пространства Евклида объем, нарушающий его однородность и изотропию. Следовательно, использование понятия инерциальной системы применительно к макроскопическим телам, вообще говоря, неоправданно. И действительно, существует ряд парадоксальных физических ситуаций (релятивистское преобразование температуры, выбор формы электромагнитного тензора энергии-импульса в макроскопических телах и т.д.), когда отсутствует однозначное решение четко и корректно сформулированной проблемы. Все механические явления, происходящие в двух инерциальных системах, движущихся с постоянной скоростью друг относительно друга, протекают одинаково. Иначе говоря, законы движения в двух инерциальных системах координат инвариантны при переходе от одной системы отсчета к другой. Для простоты ограничимся двумерным евклидовым пространством. скоростью v относительно системы I. Тогда из свойств евклидова пространства и инерциальных систем отсчета следует, что уравнения движения в этих системах должны быть инвариантны относительно замены: отражают однородность (трансляционную инвариантность) евклидова пространства. Условие (12) является обобщением аналитического определения статического евклидова пространства. Евклидово пространство однородно и изотропно. Таким образом, инерциальные системы отсчета - основа динамики - являются обобщением статического евклидова пространства. Это обобщение отражается включением членов, содержащих множитель vt, обуславливающих равноправие всех инерциальных систем отсчета. ` Более подробно о взаимосвязи между ньютоновской динамикой и евклидовым пространством см. в кн. Потому в рамках такой механики существовала единственная привилегированная система отсчета - та, к которой тело покоилось. Поэтому, хотя пространство, представленное геометрией Евклида, имеет определенную метрику (в данном случае x**2 + y**2 = const), совокупность времени и пространственных координат такой определенной метрикой не обладает. В действительности же свойства пространства (евклидовость) практически предопределяют классическую динамику. Ограничимся (как условились ранее) анализом системы двух тел, одно из которых будем полагать телом отсчета, а другое материальной точкой, положение которой характеризуется вектором r и временем t. Из определения инерциальной системы отсчета следует, что они являются единственной привилегированной системой отсчета, поскольку она отражает наиболее общие свойства пространства - изотропию и однородность. Для системы двух тел существует единственное выделенное направление - вектор r, соединяющий тело отсчета и материальную точку. По определению, воздействие, а следовательно и сила, инвариантно относительно равномерного движения инерциальной системы. в общем виде также не могут определять движение, поскольку в этом случае, помимо выделенного класса систем отсчета (соответствующего v=const), существовали бы и другие привилегированные системы отсчета, удовлетворяющие условиям a = d**2 r/dt**2=const или b = d**3 r/dt**3=const и т.д. Поскольку рассматривается материальная точка, то естественно допустить, что она характеризуется единым параметром m=m|. Величина m - внутренняя характеристика тела, вторая производная d**2 r/dt**2 определяется взаиморасположением тела отсчета и материальной точки. Назовем дальнодействующими (макроскопическими) силами такие воздействия, которые в статическом случае (т.е. когда тело отсчета неподвижно) можно характеризовать силовыми линиями, начинающимися в теле отсчета, но не изменяющимися в пустом пространстве. Но в силу изотропии и однородности пространства полное число силовых линий неизменно, а плотность силовых линий неизменно, а плотность силовых линий макроскопического взаимодействия обратно пропорциональна площади сферы с центром, расположенным в начале координат (теле отсчета). поскольку площадь сферы в трехмерном евклидовом пространстве пропорциональна r**2 (r - расстояние между телом отсчета и материальной точкой), то Таким образом, оба закона - следствие особых свойств трехмерного евклидова пространства. Однако общие соотношения отражают свойства пространства, и наша цель - демонстрация тесной связи этих свойств и простейшей динамики. Идея этого и следующего разделов несколько скромнее: очертить лаконично идею взаимосвязи геометрии и динамики, обусловленную созданием теории относительности, которая изменила сам стиль этой взаимосвязи. Ранее (в ньютоновской механике) эта взаимосвязь проявлялась как бы неявно: в определении инерциальной системы, мельком упоминалась при выводу законов сохранения и т.д. После утверждения теории относительности единство геометрии и динамики стало краеугольным камнем физики. (Этот постулат оправдывается свойствами пространства: изотропией и однородностью. И, во-вторых, этот постулат также связан с утверждением об евклидовости пространства. Физической иллюстрацией возможности подобного нарушения евклидовости является существование макроскопических тел и сильных (>=10**13 Гс) электромагнитных полей. Верные традиции этой книги, мы остановимся на простейшей системе, состоящей из тела отсчета и материальной точки (пробного тела). Иногда (особенно в период ранних дискуссий о теории относительности) наиболее ревностные ее апологеты утверждали, что Эйнштейн и Минковский полностью уравняли пространство и время. В соотношениях (20) и (21) временная и пространственные координаты выступают с разными знаками, что отражает их фундаментальное различие: время (в отличие от пространства) - направленный вектор: существует принцип причинности, различающий будущее и прошлое. Второй постулат теории относительности можно сформулировать на геометрическом языке как утверждение, что для света (в пустоте) интервал ds**2 инвариантен относительно вращений и трансляций в 4-мерном континууме пространства-времени. Инвариантность интервала ds**2 нетрудно обобщить и на случай тела и системы отсчета, движущейся со скоростью v/=c. Рассмотрим две инерциальные системы координат, движущиеся со скоростью v друг относительно друга. Из изотропии и однородности пространства следует, что этот множитель равен Инвариантность интервалов ds или s - математической отражение принципиально нового подхода к взаимосвязи пространства и времени. Обобщение на трехмерное пространство (x, y, z) не представляет труда, все сделанные далее выводы при этом сохраняются. Отметим прежде всего, что теория относительности существенно изменяет наши повседневные представления о прошлом, будущем и настоящем. Рассмотрим далее преобразование координаты x и времени t при переходе от одной системы отсчета (x,t) к другой (x',t'), движущейся со скоростью v относительно первой. Минковского уравнения движения материальной точки Чтобы обобщить импульс в рамках теории относительности, нужно проделать две операции, специфические для теории относительности: 1) условиться о системе отсчета, в которой определяется время; 2) обобщить 3-мерные векторы ньютоновской физики на 4-мерное пространство Минковского. Иначе говоря, следует ввести 4-мерный вектор, который при v/c -> 0 переходил бы в 3-мерный евклидов вектор, а в рамках теории относительности был бы аналогом 4-вектора (t,x,y,z). В русле идей теории относительности существует выделенная (собственная) система отсчета, связанная с материальной точкой. По существу (34) есть частное следствие общего определения пространства Минковского: квадрат 4-вектора - инвариант относительно поворотов и трансляций в этом пространстве. Отличие от векторного определения пространства Евклида сводится к правилу знаков: квадрат временно-подобной компоненты берется со знаком "=", а квадраты пространственно-подобных компонент - со знаком Специальная теория относительности, геометрический образ которой воплощен в пространстве Минковского, вызывает невольные ассоциации с величайшими творениями искусства. Тогда в области расположения тела 1 в соответствии с формулами (28) о сокращении масштабов пространство будет искажено: его однородность будет нарушена. Следовательно, будет нарушено основное условие определения инерциальной системы отсчета. Фактически многочастичное макроскопическое тело своим объемом нарушает однородность и изотропию пространства. Макроскопическое (неточечное) тело нарушает свойства пространства В нашем распоряжении нет твердых тел, которые можно разгонять до релятивистских скоростей, и поэтому непосредственная экспериментальная проверка выводов теории относительности применительно к макроскопическим телам затруднительна. Но закроем глаза на эти проблемы, уводящие в сторону от основной линии книги, и попробуем применить эту теорию к конкретному макроскопическому телу - вращающемуся диску, знаменитому диску Эйнштейна. Эйнштейн заключил, что ускоренное движение нарушает евклидовость (псевдоевклидовость) пространства. Если OME = 0, то пространство евклидово, т.е. d/r = 2 PI. Из того факта, что при ускоренном движении (вращение диска) возникает неевклидовость, которая представляется римановой метрикой, естественно допустить, что ускоренные движения изменяют метрические свойства пространства, а постоянно ускорение (OME = const /= 0) приводит к обобщению пространства Именно эта идея Эйнштейна (взаимосвязь геометрии и динамики) кардинально изменила наши представления о неком абсолютном континууме пространства-времени. Даже пространство Минковского было в известном смысле абсолютно (независимость метрики от динамики). из этого утверждения и законов Ньютона следует, что любое тело движется в однородном гравитационном поле с одинаковым ускорением. А мы видели, что такое движение приводит к изменению метрики пространства. Риманова метрика определяется расположением тел в пространстве. Частицы движутся в римановом пространстве (гравитационном поле) по кратчайшим расстояниям - геодезическим. Эта задача включает три элемента: 1) описание объединенного взаимодействия с помощью одной или нескольких констант взаимодействия, 2) включение в уравнение общих характеристик взаимодействий, 3) исключение из теории бесконечных величин, которые с неизбежностью возникают при использовании изолированных, необъединенных взаимодействий.